Zahrajeme si hru. Za celkem 3 dveřmi je schováno jedno auto a dvě ceny útěchy – kozy. Vyberte si jedny dveře. Já otevřu jedny ze zbylých dveří, za nimiž je koza. Nyní máte dvě možnosti – buď svoji volbu PONECHAT, nebo dveře ZMĚNIT. Co uděláte, abyste vyhráli auto?
Popis problému
Mějme troje zavřené dveře – dvě z nich ukrývající kozu, jedny auto (hlavní výhra). Po vybrání úvodní možnosti budou jedny z neoznačených dveří otevřeny. Konkrétně vždy ty, za nimiž je ukryta kozaDá se triviálně ukázat, že vždy alespoň za jedněmi dveřmi bude koza. Dvě kozy celkem, jedny vybrané dveře. QED.. Následně je soutěžící představen před rozhodnutí, zda svoji úvodní volbu PONECHAT, či ZMĚNIT za druhé neotevřené dveře. Která strategie má vyšší pravděpodobnost výhry auta?
Předpoklady
- Všechny dveře jsou stejné, nedá se poznat, za kterými je auto.
- Pravidla hry jsou soutěžícímu vysvětleny na začátku.
Výpočet
Bez újmy na obecnostiBÚNO: Troje stejné dveře lze libovolně permutovat, aniž by došlo ke změně jednotlivých pravděpodobností. předpokládejme, že jsme si vybrali dveře č. 1.
Nejprve je potřeba se podívat, jaká je pravděpodobnost, kdy trefíme auto v prvním kole. Jedny dveře ze tří, tedy 
. Pokud jsme si vybrali dveře, za nimiž se skrývá auto, pak moderátor otevře buď dveře č. 2, nebo č. 3, obojí se stejnou pravděpodobností 
.
- V případě, že byly otevřeny dveře č. 2, mohu si ponechat volbu 1 (kde se nachází auto), nebo změnit na dveře č. 3.
- V případě, že byly otevřeny dveře č. 3, mohu si ponechat volbu 1 (kde se nachází auto), nebo změnit na dveře č. 2.
- V obou případech výhra nastane v případě zvolení strategie PONECHAT.
Pokud jsme ovšem úvodní volbou trefili kozu, tedy 
, postup je následující:
- V případě, že auto je za dveřmi č. 2, moderátor musí otevřít třetí dveře.
- V případě, že auto je za dveřmi č. 3, moderátor musí otevřít druhé dveře.
- V obou případech výhra nastane v případě zvolení strategie ZMĚNIT.
Výsledky
Strategie PONECHAT tedy přinese výhru s pravděpodobností 
. Oproti tomu ZMĚNIT svoji volbu znamená navýšit pravděpodobnost výhry dvojnásobně. 
. Existují však i další herní strategie. Např. změnit, pokud moderátor vybere prostřední dveře a ponechat, pokud pravé krajní. Dokážete spočítat pravděpodobnost výhry při volbě této strategie?
Řešení
Následující diagram ukazuje rozhodovací strom celé hry:
Poznámky
- Z výše uvedeného je patrné, že otevřením jedněch dveří po naší úvodní volbě a nabídnutím možnosti změny nám moderátor prakticky daroval dalších 33,3 % pravděpodobnosti výhry auta navíc.
- Nicméně celá pointa s otevíráním dveří a dáváním druhé volby je úvodně zamýšlena s cílem znejistět soutěžícího, aby zůstal u svého původního rozhodnutí.
- Proč není pravděpodobnost při druhé volbě
, když vybíráme jedny dveře ze dvou zbylých?
Poslední otázku si stručně rozebereme. Pravděpodobnost, že za libovolnými dveřmi je auto, má hodnotu 
. Auto jste tedy napoprvé netrefili ve dvou třetinách případů. Otevřením jedněch ze zbylých dveří dává moderátor najevo, že za těmito dveřmi výhra není. Celá pravděpodobnost výhry s těmito dveřmi (
) se tak přesouvá na třetí dveře, neboť vaši úvodní pravděpodobnost výběru auta tato informace nemohla žádným způsobem ovlivnit.